teorie grafuri orientate

GRAFURI ORIENTATE

Definitie Se numește graf orientat notat cu G o pereche ordonată de mulțimi {X,U} G= {X,U} unde X este mulțimea vârfurilor si U este multimea arcelor.

X={1,2,3,4,5}
U={(1,2);(1,3);(2,5);(4,2);(4,5)}

MATRICEA DE ADIACENTA.

Matricea de adiacenta asociata unui graf orientat este patratica si nesimetrica:
a[i][j]= 1 daca nodul i este adiacent cu nodul j;
0 daca nodul i nu este adiacent cu nodul j.
pentru graful orientat de mai sus avem urmatoarea matrice de adiacenta:
A= 0 1 1 0 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
0 1 0 0 1
0 0 0 0 0


GRAFUL UNUI NOD.

-grad extern este egal cu numarul arcelor care au extremitate initiala( numarul arcelor care ies din X)
-grad intern este egal cu numarul arcelor care au extremitate finala( numarul arcelor care intra in X).


TERMINOLOGIE.

Elementele mutimii U se numesc arce,iar multimea U se mai numeste si multimea arcelor.
Varfurile adiacente sunt orice pereche de varfuri care formeaza un arc.
Pentru arcul (x,y) spunem ca x este extremitate initiala iar y este extremitate finala.
Se numesc arce incidente doua arce care au o extremitate comuna.
Se numeste succesor al varfului X orice varf in care ajunge un arc care pleaca din varful X.
Se numeste predecesor al varfului X orice varf in care intra un arc care pleaca din varful X.
Nod sursa al grafului este nodul care are multimea succesorilor formata din toate celelalte noduri mai putin el iar multimea predecesorilo sai este vida. Nod destinatie al grafului este nodul care are multimea predecesorilor formata din toate celelalte noduri mai putin el iar multimea succesorilor sai este vida.
Se numeste nod terminal un nod care are suma gradelor egala cu 1.
Se numeste nod izolat un nod care are suma gradelor egala cu 0.


TEOREME.

1.Numarul total de grafuri orientate care se pot forma cu n noduri este
2.Intr-un graf orientat cu n varfuri suma gradelor interne ale tuturor nodurilor este egala cu suma gradelor exterioare ale tuturor nodurilor si cu numarul de arce.
3.Numarul de grafuri orientate complete care se pot construi cu n noduri este egal cu
4.Un graf cu mai mult de 2 noduri este hamiltonian daca gradul fiecarui nod este >=n/2.
5. Un graf ce nu contine grafuri izolate este eulerian daca si numai daca este conex si gradele tuturor nodurilor sunt pare.
6. Numarul de cicluri hamiltoniene dintr-un graf complet cu n noduri este
7. Orice graf turneu contine un drum elementar care trece prin toate nodurile grafului.
8. Pentru orice graf turneu, exista un nod x, astfel incat toate nodurile y!=x sunt accesibile din x pe un drum care contine un arc sau doua arce.

GRAFURI SPECIALE.

Graful G se numeste graf bipartit daca exista 2 multimi nevide de noduri A si B care au urmatoarele proprietati: AuB=X si AnB= multimea vida si orice muchie(arc) din multimea U are o extremitate in multimea de noduri A si o alta extremitate in multimea de noduri B.
Graful bipartit se numeste graf bipartit complet daca pentru orice nod xi care apartine lui A si orice nod xj care apartine lui B exista o muchie ( un arc ) formata din cele 2 noduri care apatin multumii U( [ xi, xj ]e U).


Graful GT1 este graf bipartit.
A={1,3,5}
B={2,4,6,7}

GT1

Graful GT2 este bipartit complet.
A={ 1,2}
B={3,6,7}

GT2

Numim lant hamiltonian un lant elementar ce contine toate nodurile grafului.
Lantul elementar este lantul care contine numai noduri distincte.
Numim ciclu hamiltonian un ciclu elementar ce contine toate nodurile grafului.
Un graf ce contine un ciclu hamiltonian se numeste graf hamiltonian.
Numim ciclu eulerian un ciclu ce contine toate muchiile grafului.
Un graf ce contine un ciclu eulerian se numeste graf eulerian.
Un garf orientat in care , intre oricare 2 noduri exista un singur arc si numai unul se numeste graf turneu.